2732: [HNOI2012]射箭
Description
沫沫最近在玩一个二维的射箭游戏，如下图 1 所示，这个游戏中的 x 轴在地面，第一象限中有一些竖直线段作为靶子，任意两个靶子都没有公共部分，也不会接触坐标轴。沫沫控制一个位于(0,0)的弓箭手，可以朝 0 至 90?中的任意角度（不包括 0度和 90度），以任意大小的力量射出带有穿透能力的光之箭。由于游戏中没有空气阻力，并且光之箭没有箭身，箭的轨迹会是一条标准的抛物线，被轨迹穿过的所有靶子都认为被沫沫射中了，包括那些 只有端点被射中的靶子。这个游戏有多种模式，其中沫沫最喜欢的是闯关模式。在闯关模式中，第一关只有一个靶 子，射中这个靶子即可进入第二关，这时在第一关的基础上会出现另外一个靶子，若能够一箭 双雕射中这两个靶子便可进入第三关，这时会出现第三个靶子。依此类推，每过一关都会新出 现一个靶子，在第 K 关必须一箭射中前 K 关出现的所有 K 个靶子才能进入第 K+1 关，否则游戏 结束。沫沫花了很多时间在这个游戏上，却最多只能玩到第七关“七星连珠”，这让她非常困惑。 于是她设法获得了每一关出现的靶子的位置，想让你告诉她，最多能通过多少关
Input
输入文件第一行是一个正整数N，表示一共有N关。接下来有N行，第i+1行是用空格隔开的三个正整数xi，yi1，yi2(yi1<yi2 )，表示第i关出现的靶子的横坐标是xi，纵坐标的范围是从yi1到yi2 。
输入保证30%的数据满足N≤100，50%的数据满足N≤5000，100%的数据满足N≤100000且给 出的所有坐标不超过109 。
Output
仅包含一个整数，表示最多的通关数。
Sample Input
2 8 12
5 4 5
3 8 10
6 2 3
1 3 7
Sample Output
HINT
.jpg)
数据已加强By WWT15。特鸣谢！---2015.03.09
二分+半平面交
设抛物线为 y = ax2 + bx,
那么靶子（xi, yi1, yi2）即为限制条件 yi1 ≤ axi2 + bxi ≤ yi2,
过靶子i 即为满足限制条件i
对于限制条件i, 我们设 p = xi2 , q = xi,则有
(-p)a + (-b)q ≤ -yi1 , pa + qb ≤ yi2
对于一个不等式 ax + by ≤ c 有
y ≤ c/b - a/b x 或 y ≥ c/b - a/b x
所以一个不等式对应一个半平面
半平面的交集即为满足限制条件的解集
现在我们二分答案
有一个判定性问题：当前答案mid是否合法
我们将[1, mid]的限制条件对应的半平面求交
若有交集， 则合法
反之，若交集为空 则不合法
值得一提的是，
我们可以在最外围加上四个半平面
保证 若有解集， 解集一定是个凸包
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
const double eps = 1e-7;
inline int sgn(const double &x) {
if (fabs(x) < eps) return 0;
return x > 0 ? 1 : -1;
}
const double INF = 0x3f3f3f3f;
const int MaxN = 100010;
const int MaxM = 200010;
int n, m, res;
int que[MaxM], ql, qr;
struct point {
double x, y;
point (double a = 0, double b = 0) {
x = a, y = b;
}
inline double operator * (const point &b) const {
return x * b.y - b.x * y;
}
inline point operator + (const point &b) const {
return point(x + b.x, y + b.y);
}
inline point operator - (const point &b) const {
return point(x - b.x, y - b.y);
}
inline point operator / (const double &b) const {
return point(x / b, y / b);
}
inline point operator * (const double &b) const {
return point(x * b, y * b);
}
}P[MaxM];
struct line {
point a, b;
int id, k, bo;
}L[MaxM];
inline bool cmp(const line &a, const line &b) {
if (a.k != b.k) return a.k < b.k;
return sgn((a.b - a.a) * (b.b - b.a)) > 0;
}
point JD(const line &a, const line &b) {
double s1 = (b.b - a.a) * (b.a - a.a), s2 = (b.a - a.b) * (b.b - a.b);
return a.a + (a.b - a.a) / (s1 + s2) * s1;
}
bool check(int x) {
for (int i = 1; i <= m; ++i)
L[i].bo = L[i].id <= x;
ql = 1, qr = 0;
for (int i = 1; i <= m; ++i)
if (L[i].bo) {
while (ql < qr && sgn((L[i].b - L[i].a) * (P[qr - 1] - L[i].a)) < 0) --qr;
while (ql < qr && sgn((L[i].b - L[i].a) * (P[ql] - L[i].a)) < 0) ++ql;
que[++qr] = i;
if (ql < qr && sgn((L[que[qr - 1]].b - L[que[qr - 1]].a) * (L[que[qr]].b - L[que[qr]].a)) == 0) {
if (sgn((L[que[qr]].b - L[que[qr]].a) * (L[que[qr - 1]].a - L[que[qr]].a)) < 0) que[qr - 1] = que[qr];
--qr;
}
if (ql < qr) P[qr - 1] = JD(L[que[qr]], L[que[qr - 1]]);
}
while (ql < qr - 1 && sgn((L[que[ql]].b - L[que[ql]].a) * (P[qr - 1] - L[que[ql]].a)) < 0) --qr;
while (ql < qr - 1 && sgn((L[que[qr]].b - L[que[qr]].a) * (P[ql] - L[que[qr]].a)) < 0) ++ql;
return qr - ql >= 2;
}
int main()
{
L[++m].a = point(-INF, -INF), L[m].b = point(INF, -INF), L[m].id = 0;
L[++m].a = point(INF, -INF), L[m].b = point(INF, INF), L[m].id = 0;
L[++m].a = point(INF, INF), L[m].b = point(-INF, INF), L[m].id = 0;
L[++m].a = point(-INF, INF), L[m].b = point(-INF, -INF), L[m].id = 0;
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
double x, y1, y2;
scanf("%lf%lf%lf", &x, &y1, &y2);
L[++m].a = point(0, y1 / x), L[m].b = point(100, y1 / x - x * 100), L[m].id = i;
L[++m].a = point(100, y2 / x - x * 100), L[m].b = point(0, y2 / x), L[m].id = i;
}
for (int i = 1; i <= m; ++i)
L[i].k = sgn(L[i].a.y - L[i].b.y) == 0 ? (sgn(L[i].b.x - L[i].a.x)) : (sgn(L[i].b.y - L[i].a.y));
sort(L + 1, L + m + 1, cmp);
int l = 1, r = n;
while (l <= r) {
int mid = l + r >> 1;
if (check(mid)) {
res = mid;
l = mid + 1;
}
else r = mid - 1;
}
printf("%d\n", res);
return 0;
}
wy悲催地回忆由于板子打错， 没开O2, eps判错等各种原因导致的重码程序TAT。。。
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