1010: [HNOI2008]玩具装箱toy
Description
P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过L。但他希望费用最小.
Input
第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7
Output
输出最小费用
Sample Input
5 4
3
4
2
1
4
3
4
2
1
4
Sample Output
1
法1：O(n logn) 栈优化走起！
#include<cstdio>
#define MaxN 50010
typedef long long LL;
int N,L;
LL A[MaxN],f[MaxN];
int st[MaxN],w,t,b[MaxN],e[MaxN];
LL pow(LL x){
return x*x;
}
LL calc(int x,int y){
return f[x]+pow(A[y]-A[x]-1-L);
}
int main(){
scanf("%d%d",&N,&L);
for (int i=1;i<=N;++i)
scanf("%lld",&A[i]);
for (int i=1;i<=N;++i)
A[i]+=A[i-1]+1;
b[0]=0;
e[ st[ w=t=0 ]=0 ]=N;
for (int i=1;i<=N;++i){
while ( e[ st[w] ]<i ) ++w;
b[ st[w] ]=i;
f[i]=calc(st[w],i);
if ( calc(st[t],N) < calc(i,N) ) continue;
while ( w<=t && calc(st[t],b[st[t]]) >= calc(i,b[st[t]]) ) --t;
int be=e[ st[t] ]+1,l=b[ st[t] ],r=e[ st[t] ];
while (l<=r){
int mid=(l+r)/2;
if ( calc(st[t],mid) >= calc(i,mid) ){
be=mid; r=mid-1;
}
else l=mid+1;
}
e[ st[t] ]=be-1; st[++t]=i; b[i]=be; e[i]=N;
}
printf("%lld\n",f[N]);
}
法2：O(n) 美妙的斜率优化。。。
蒟蒻wy表示写完整个人都斜率优化了。。。
#include<cstdio>
#define MaxN 50010
typedef long long LL;
int N,L,Q[MaxN],ql,qr;
LL sum[MaxN],a[MaxN],b[MaxN],X[MaxN],Y[MaxN],f[MaxN];
LL calc(int x,int y){
return f[x]+b[x]*b[x]-2*a[y]*b[x];
}
bool check(int p,int q,int o){
return (X[p]-X[o])*(Y[q]-Y[o])-(X[q]-X[o])*(Y[p]-Y[o])<=0;
}
int main(){
scanf("%d%d",&N,&L);
for (int i=1;i<=N;++i)
scanf("%lld",&sum[i]);
for (int i=1;i<=N;++i){
sum[i]+=sum[i-1];
a[i]=sum[i]+i-L-1;
b[i]=sum[i]+i;
}
for (int i=1;i<=N;++i){
while ( ql<qr && calc(Q[ql],i)>=calc(Q[ql+1],i) ) ++ql;
f[i]=calc(Q[ql],i)+a[i]*a[i];
X[i]=b[i]; Y[i]=f[i]+b[i]*b[i];
while ( ql<qr && check(Q[qr-1],Q[qr],i) ) --qr;
Q[++qr]=i;
}
printf("%lld\n",f[N]);
}
Ps:以上两种解法详见 1D/1D动态规划优化初步
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